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Anwendungsbeispiele der numerischen Mathematik

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Das Fach numerische Mathematik klingt langweilig und nur wenige Menschen können sich darunter, etwas vorstellen, deshalb möchte ich in diesem Beitrag ein paar Anwendungsfälle der numerischen Mathematik vorstellen, auch um zu zeigen, wie cool Mathematik eigentlich ist.

Visualisierung der Simulation eines Crashtests mithilfe der Finite-Elemente-Methode.
Visualisierung der Simulation eines Crashtests mithilfe der Finite-Elemente-Methode.
Nur wenige Menschen wissen, wie wichtig Mathematik für die Wirtschaft und Wissenschaft ist. Leider habe ich das Gefühl, dass es in Mode gekommen ist, nicht gut in Mathematik zu sein. Aussagen wie “In Mathe war ich auch immer schlecht.” tragen dazu bei, dass Kinder und Jugendliche die Mathematik nicht so ernst nehmen. Allerdings gehören Absolventen eines Mathematikstudiums im Berufsleben, gemessen am Einstiegsgehalt, zu den am besten bezahlten Spezialisten über alle Studiengänge hinweg. Warum das so ist und warum Mathematik ein cooles Fach ist, möchte ich mit einigen Anwendungsfällen, die ich regelmäßig aktualisieren werde, erläutern.

Die hier vorgestellten Anwendungsfälle werden in der Regel von einem Team aus Wissenschaftlern, Ingenieuren, technischen Zeichnern usw. entwickelt. Jeder dieser Personen ist dabei ein Spezialist auf seinem Gebiet und trägt mit seinem Wissen zum Erfolg von den entsprechenden Projekten bei. Die Beispiele zeigen außerdem, wie individuell, der Beruf des Ingenieurs oder Mathematikers ist.

Künstliche Intelleigenz

Der Bereich der künstlichen Intelligenz hat sich mittlerweile zu einem eigenständigen Wissenschaftsbereich entwickelt. Methoden aus der numerischen Mathematik sind ein wesentlicher Bestandteil der künstlichen Intelligenz. Beim maschinellen Lernen müssen nichtlineare Optimierungsprobleme gelöst werden. Hierzu werden Verfahren wie das BFGS-Verfahren oder das Gradientenverfahren genutzt. Diese Verfahren sind sehr komplex und rechenaufwändig und basieren auf Matrixoperationen, wofür die numerische Mathematik wiederum Verfahren zu Verfügung stellt, um diese möglichst effizient zu lösen.

Vereinfachte Darstellung eines künstlichen neuronalen Netzes, welche beim Deep Learning, eine spezielle Form des maschinellen Lernens, zum Einsatz kommt.
Vereinfachte Darstellung eines künstlichen neuronalen Netzes, welche beim Deep Learning, eine spezielle Form des maschinellen Lernens, zum Einsatz kommt.

Aufgrund der Menge an Matrixoperationen, die beim maschinellen Lernen zum Einsatz kommen, hat die Industrie spezielle Prozessoren entwickelt, um diese Matrixoperationen möglichst schnell auszuführen, zu können (→ Tensor Processing Unit, Entwicklung von Mikrochips und Prozessoren). Ein Tensor ist fachlich eine Verallgemeinerung einer Matrix auf mehr als zwei Dimensionen, daher der Name Tensor Processing Unit und TensorFlow ein Framework für künstliche Intelligenz.

Siehe auch:

→ TensorFlow

Entwicklung von Mikrochips und Prozessoren

Verfahren aus der numerischen Mathematik kommen auch bei der Entwicklung von Mikrochips und Prozessoren zum Einsatz. Die Addition zweier Zahlen lässt sich über einen geschickt erstellten elektrischen Schaltkreis realisieren (siehe Volladdierer, Addierwerk). Auf Grundlage dieser Rechenoperation lassen sich auch die Multiplikation und die Division in elektrischen Schaltkreisen abbilden (siehe Multiplizierer, Goldschmidt-Division).

Drei integrierte Schaltkreise (4016 IC von STMicroelectronics), die im allgemeinen Sprachgebrauch auch als Chip oder Mikrochip bekannt sind.
Drei integrierte Schaltkreise (4016 IC von STMicroelectronics), die im allgemeinen Sprachgebrauch auch als Chip oder Mikrochip bekannt sind.

Die numerische Mathematik stellt Verfahren zu Verfügung, um aus diesen Grundrechenarten kompliziertere Rechenoperationen, wie die Wurzel oder den Logarithmus von einer Zahl zu ermitteln. Diese Verfahren können wieder in elektrische Schaltkreise umgewandelt und somit in Mikrochips integriert werden. Eines dieser Verfahren, welches verwendet werden kann, ist das Newtonverfahren. In der Wikipedia sind zahlreiche Beispiele aufgeführt, wie das Newtonverfahren verwendet werden kann, um solche Zahlenwerte zu ermitteln. Außerdem sind dort noch Optimierungen angegeben, um die Performance dieser Algorithmen zu verbessern (Verzicht auf Divisionen).

Siehe auch:

→ Chipentwurf

→ Arithmetisch-logische Einheit

Wetterbericht und Klimasimulation

Zur Beschreibung der Atmosphäre existieren verschiedene mathematische Modelle. Da die Atmosphäre zum Großteil aus Gas besteht, sind die oben beschriebenen Navier-Stokes-Gleichungen nur ein Teil des mathematischen Modells und damit weitaus komplexer. Zur Lösung dieser mathematischen Modelle werden wieder numerische Verfahren verwendet. Durch die Komplexität von Wettermodellen sind deren Lösungen so rechenaufwändig, dass nur Supercomputer in der Lage sind, diese in angemessener Zeit hinreichend genau zu bestimmen. Daher besteht für die numerische Mathematik wiederum die Aufgabe, Verfahren zu entwickeln oder zu verbessern, um Simulationen mit geringerem Rechenaufwand bei gleicher Qualität zu erstellen.

Simulation der Winde auf der Erde. Die Simulation wurde von der NASA durchgeführt, um die neue Hardware auf den Supercomputer im NASA Center for Climate Simulation zu testen.
Simulation der Winde auf der Erde. Die Simulation wurde von der NASA durchgeführt, um die neue Hardware auf den Supercomputer im NASA Center for Climate Simulation zu testen (→ zur Projektseite).

In Deutschland hat der Deutsche Wetterdienst im Keller einen Supercomputer zu stehen. Auf diesem Computer werden täglich zweimal Wettersimulationen durchgeführt, um eine Wettervorhersage zu erstellen.

Eine Stufe komplexer und rechenaufwändiger als Wettermodelle sind Klimamodelle. Das Klima wird in den weltweit größten Supercomputern simuliert und versuchen vorhersagen, über die langfristige Entwicklung des Klimas zu machen.

Siehe auch:

→ Numerische Wettervorhersage

→ Klimamodell

Speicherung digitaler Bilder

Die einfachste Art ein Bild in digitaler Form zu speichern, ist es, die einzelnen Pixel hintereinander in einer Datei abzulegen. Der Nachteil dieser Methode ist der hohe Speicherverbrauch, der bei vielen oder hochauflösenden Bildern enorm sein kann. Ein Beispiel eines hochauflösenden Bildes ist das der Andromedagalaxie, welches vom Hubble-Weltraumteleskop aufgenommen wurde und im Original eine Größe von 4,3 Gigabyte erreicht. Zum Artikel mit diesem Bild geht es hier entlang:

→ Sharpest ever view of the Andromeda Galaxy (esahubble.org)

Das Bild ist im speziellen Dateiformat PSB für besonders hochauflösende Bilder hinterlegt worden, welches von Adobe entwickelt wurde.

Pigmente auf einen Markt in Goa, Indien.
Pigmente auf einen Markt in Goa, Indien.

Siehe auch:

→ Rastergrafik